Was ist die Bernoulli Verteilung?

Im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik stellt die Bernoulli Verteilung ein grundlegendes Konzept mit weitreichenden Auswirkungen dar. Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli, dient diese diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung als Eckpfeiler für das Verständnis von binären Ergebnissen oder Ereignissen mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg, Ja oder Nein, Kopf oder Zahl. In diesem Artikel befassen wir uns mit dem Wesen der Bernoulli Verteilung und untersuchen ihre wichtigsten Eigenschaften, Anwendungen und ihre Rolle als grundlegende Komponente im breiteren Bereich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wenn wir die Feinheiten dieser Verteilung verstehen, erhalten wir wertvolle Einblicke in verschiedene reale Szenarien und ebnen den Weg für fortgeschrittenere Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Was ist die Wahrscheinlichkeits-Masse-Funktion?

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) ist ein entscheidendes Element bei der Erforschung der Bernoulli Verteilung. Bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wie der Bernoulli Verteilung definiert die PMF die Wahrscheinlichkeit der einzelnen möglichen Ergebnisse. Im Fall von Bernoulli gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg (üblicherweise als 1 bezeichnet) und Misserfolg (üblicherweise als 0 bezeichnet).

\( p \) steht für die Erfolgswahrscheinlichkeit, wobei \( 0 \leq p \leq 1 \), und \( q \) für die Misserfolgswahrscheinlichkeit \( q = 1 – p \). Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für Bernoulli ist definiert als:

\(\) \[ P(X=x) =
\begin{cases}
p & \text{for } x = 1 \\
q & \text{for } x = 0
\end{cases} \]

Dabei ist \( X \) die Zufallsvariable, die einer Bernoulli Verteilung folgt, und \( x \) ist der Wert, den \( X \) annehmen kann, der in diesem Fall entweder 0 oder 1 ist. Die PMF besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 1 (Erfolg) ist, \( p \) und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 0 (Misserfolg) ist, \( q \) beträgt.

Diese PMF vermittelt ein grundlegendes Verständnis der Wahrscheinlichkeit, die mit jedem Ergebnis in einem Bernoulli-Versuch verbunden ist, und bildet die Grundlage für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und das Treffen fundierter Entscheidungen in Szenarien mit binären Ereignissen.

Was sind die Parameter der Bernoulli Verteilung?

Die Bernoulli Verteilung wird durch einen einzigen Parameter definiert, der als \( p \) bezeichnet wird und die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem binären Versuch darstellt. Dieser Parameter muss in den Bereich \( 0 \leq p \leq 1 \) fallen, da er die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ergebnisses angibt, das in der Regel als “Erfolg” (oft als 1 bezeichnet) bezeichnet wird.

Der Parameter \( p \) ist von wesentlicher Bedeutung, da er die Form und die Merkmale der Verteilung direkt beeinflusst. Ist \( p = 1 \), bedeutet dies ein bestimmtes Ereignis oder Erfolg, während \( p = 0 \) Unmöglichkeit oder Misserfolg bedeutet. Jeder \( p \) Wert zwischen 0 und 1 steht für die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Ergebnisses und spiegelt die Unsicherheit wider, die mit dem beobachteten oder erreichten Ereignis verbunden ist.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Parameter \( p \) in der Bernoulli-Verteilung die Erfolgswahrscheinlichkeit eines binären Experiments beschreibt und damit eine prägnante Möglichkeit zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bietet.

Was sind die Eigenschaften der Bernoulli Verteilung?

Die Bernoulli Verteilung ist eine grundlegende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen modelliert: Erfolg und Misserfolg. Diese Ergebnisse werden häufig mit 1 (Erfolg) und 0 (Misserfolg) bezeichnet. Die Verteilung hat mehrere wichtige Eigenschaften:

1. Wahrscheinlichkeits-Masse-Funktion (PMF): Die Bernoulli-Verteilung wird durch ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) charakterisiert. Bei einem Parameter p (0 ≤ p ≤ 1) ist die PMF definiert als:

\(\)\[ P(X = x) = p^x \cdot (1 – p)^{(1-x)} for x ∈ {0, 1} \]

• P(X = 1) = p: Die Erfolgswahrscheinlichkeit.
• P(X = 0) = 1 – p: Die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns.

2. Mittelwert (Erwartungswert): Der Erwartungswert oder Mittelwert einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen X, bezeichnet als E(X) oder μ, ist gegeben durch:

\(\)\[ \mu = E[X] = p \]

Das bedeutet, dass der Wert von X im Durchschnitt gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit p ist.

3. Varianz: Die Varianz einer Bernoulli-Zufallsvariablen X, bezeichnet als Var(X), ist gegeben durch:

\(\)\[ Var(X) = p(1-p) \]

Die Varianz misst die Streuung oder Variabilität der Verteilung.

4. Unabhängigkeit von Versuchen: In einer Folge von Bernoulli-Versuchen (wiederholte Versuche mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit p) ist jeder Versuch unabhängig von den anderen. Das Ergebnis eines Versuchs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen.
5. Unterstützung: Die Bernoulli Verteilung ist für die Werte 0 und 1 definiert, sie nimmt keine anderen Werte an. Diese diskrete Verteilung eignet sich für die Modellierung von binären Ereignissen, bei denen jede Beobachtung nur einen von zwei möglichen Ausgängen annehmen kann.
6. Interpretation der Parameter: Der Parameter p steht für die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1 – p für die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Diese Parameter sind wesentlich für die Charakterisierung der Verteilung.
7. Modus: Der Modus der Bernoulli Verteilung ist der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit, also das Ergebnis mit der höchsten Eintrittswahrscheinlichkeit. In diesem Fall ist der Modus der Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von p, wenn p > 0,5 (Erfolg) oder 1 – p, wenn p ≤ 0,5 (Misserfolg).
8. Beziehung zu anderen Verteilungen: Die Bernoulli Verteilung ist ein grundlegender Baustein für andere Verteilungen, wie z. B. die Binomial-, Geometrie- und Poisson-Verteilung. Sie dient als Grundlage für die Modellierung komplexerer Szenarien.

Das Verständnis der Eigenschaften der Bernoulli Verteilung ist für verschiedene Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Datenanalyse sowie als Grundlage für fortgeschrittenere Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistische Modelle unerlässlich.

Wie kann man den Mittelwert und die Varianz einer Bernoulli Verteilung berechnen?

Die Berechnung von Mittelwert und Varianz einer Bernoulli Verteilung ist für das Verständnis ihrer zentralen Tendenzen und ihrer Variabilität unerlässlich. Hier findest Du eine detaillierte Erklärung, wie man sie berechnet:

• Mittelwert einer Bernoulli Verteilung \( mu \): Der Mittelwert ist der erwartete Wert oder das durchschnittliche Ergebnis. Im Falle einer Bernoulli Verteilung ist der Mittelwert \( mu \) gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \).

\(\)\[ \mu = E[X] = p \]

Dabei ist \( X \) eine Zufallsvariable, die der Bernoulli-Verteilung folgt, und \( p \) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.

• Die Varianz einer Bernoulli Verteilung \( \sigma^2 \): Die Varianz misst die Streuung oder Variabilität der Ergebnisse. Bei der Bernoulli Verteilung wird die Varianz \( \sigma^2 \) anhand der Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) berechnet.

\(\)\[ \sigma^2 = E[(X – \mu)^2] = p(1 – p) \]

dabei ist \( X \) eine Zufallsvariable, die der Bernoulli Verteilung folgt, und \( p \) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit. Alternativ kannst Du die Varianz anhand des Mittelwerts \( mu \) berechnen:

\(\)\[ \sigma^2 = \mu(1 – \mu) \]

Diese Formel wird von der Varianzformel \( \sigma^2 = E[X^2] – (E[X])^2 \) abgeleitet, wobei \( X^2 = X \) für eine Bernoulli Verteilung gilt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Mittelwert \( mu \) einer Bernoulli Verteilung gleich der Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) ist und die Varianz \( sigma^2 \) anhand der Formel \( p(1 – p) \) oder \( \mu(1 – \mu)\) berechnet wird. Diese Berechnungen liefern wertvolle Erkenntnisse über den Erwartungswert und die Streuung der Verteilung, die für verschiedene Anwendungen und statistische Analysen entscheidend sind.

Wie kann man diese Verteilung grafisch darstellen?

Die Bernoulli Verteilung lässt sich leicht grafisch darstellen und bietet eine klare Visualisierung ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wahrscheinlichkeits-Masse-Funktion

Die PMF der Bernoulli Verteilung, die die mit jedem möglichen Ergebnis verbundenen Wahrscheinlichkeiten anzeigt, kann mithilfe eines Balkendiagramms dargestellt werden. In diesem Fall haben wir zwei Balken: einen für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 0 (Misserfolg) ist, und einen für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 1 (Erfolg) ist. Wir können dies in Python wie folgt programmieren:

Die Höhe der Balken im Balkendiagramm entspricht den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse und veranschaulicht die Wahrscheinlichkeit von Erfolg und Misserfolg.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ein Tortendiagramm kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Bernoulli Verteilung effektiv darstellen. Das Diagramm bietet eine visuelle Darstellung der mit Erfolg und Misserfolg verbundenen Wahrscheinlichkeiten.

In diesem Kuchendiagramm stellt jede Scheibe die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses dar, wodurch die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten noch deutlicher wird.

Was sind die Anwendungsfälle und Anwendungen der Bernoulli Verteilung?

Die Bernoulli Verteilung findet in verschiedenen realen Szenarien Anwendung, in denen es um binäre Ergebnisse geht – wie Erfolg oder Misserfolg, Ja oder Nein, Kopf oder Zahl. Hier sind einige häufige Anwendungsfälle für die Bernoulli Verteilung:

1. Münzwurf und Glücksspiel: Eines der klassischsten Beispiele für die Bernoulli Verteilung ist die Modellierung des Ergebnisses eines Münzwurfs. Jeder Wurf hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf (Erfolg) oder Zahl (Misserfolg), mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 für jedes Ergebnis. Diese Verteilung ist grundlegend für das Verständnis von Wahrscheinlichkeit und Risiko beim Glücksspiel.
2. Qualitätskontrolle und Zuverlässigkeitsanalyse: In der Fertigung und Qualitätskontrolle kann die Bernoulli Verteilung verwendet werden, um den Erfolg oder Misserfolg einzelner Artikel oder Komponenten zu modellieren. In der Elektronikfertigung könnte man zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit modellieren, dass ein Bauteil defekt ist (Ausfall) oder nicht.
3. Marketing und Kundenkonversionsraten: Im Marketing verfolgen Unternehmen häufig das Kundenverhalten, z. B. ob ein Website-Besucher einen Kauf tätigt, sich für einen Newsletter anmeldet oder auf eine Anzeige klickt. Diese binären Ergebnisse können mithilfe der Bernoulli Verteilung modelliert werden, um den Erfolg von Marketingkampagnen und Konversionsraten zu bewerten.
4. Medizinische Diagnostik und Krankheitserkennung: Bei medizinischen Tests kann diese Verteilung das Ergebnis eines Diagnosetests darstellen. Das Testergebnis kann positiv (Erfolg, der das Vorhandensein einer Krankheit anzeigt) oder negativ (Misserfolg, der keine Krankheit anzeigt) sein. Die Wahrscheinlichkeit eines wahrhaft positiven oder wahrhaft negativen Ergebnisses ist in solchen Fällen von Interesse.
5. A/B-Tests in der Web- und App-Entwicklung: Bei der Durchführung von A/B-Tests zum Vergleich der Wirksamkeit verschiedener Website-Designs, Benutzeroberflächen oder Werbestrategien kann die Bernoulli Verteilung verwendet werden, um Benutzeraktionen zu modellieren, z. B. das Klicken auf eine bestimmte Schaltfläche (Erfolg) oder nicht (Misserfolg).
6. Binäre Klassifizierung beim maschinellen Lernen: Bei binären Klassifizierungsproblemen, bei denen Datenpunkte in eine von zwei Kategorien eingeordnet werden müssen, kann diese Verteilung als Grundlage für die Modellierung der Wahrscheinlichkeit verwendet werden, dass ein Datenpunkt zu einer Kategorie (Erfolg) oder zur anderen (Misserfolg) gehört.
7. Umfrageantworten und Meinungsumfragen: Bei Umfragen oder Meinungsumfragen, bei denen den Befragten Ja/Nein-Fragen gestellt werden, wird die Bernoulli Verteilung zur Modellierung der Wahrscheinlichkeit einer positiven Antwort (Erfolg) oder einer negativen Antwort (Misserfolg) verwendet.
8. Online-Nutzerbindung: In der Webanalyse kann die Bernoulli Verteilung verwendet werden, um das Nutzerengagement zu analysieren, z. B. ob ein Nutzer mit einem bestimmten Element auf einer Website interagiert (z. B. auf einen Link oder eine Schaltfläche klickt) oder nicht.
9. Umweltüberwachung: In ökologischen oder Umweltstudien kann die Bernoulli Verteilung verwendet werden, um das Vorhandensein oder Fehlen einer bestimmten Art an einem bestimmten Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt auf der Grundlage von Beobachtungsdaten zu modellieren.

Dies sind nur einige Beispiele für die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der Bernoulli Verteilung in verschiedenen Bereichen, von der Statistik und Datenanalyse bis hin zu Technik, Marketing und Gesundheitswesen. Ihre Einfachheit und Effektivität bei der Modellierung von binären Ereignissen machen sie zu einem wertvollen Instrument für das Verständnis und die Vorhersage solcher Szenarien.

Was sind die Grenzen der Bernoulli Verteilung?

Die Bernoulli Verteilung ist zwar ein grundlegendes und leistungsfähiges Instrument in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, hat aber auch ihre Grenzen, die ihre Anwendbarkeit in verschiedenen realen Kontexten einschränken.

Eine wichtige Einschränkung ist, dass die Bernoulli Verteilung auf die Modellierung binärer Ergebnisse zugeschnitten ist, d. h. auf Ereignisse mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg. Diese Einfachheit ist in vielen Szenarien von Vorteil, schränkt aber ihre Anwendung auf Fälle ein, in denen sich die Ergebnisse auf natürliche Weise auf ein binäres Format reduzieren lassen.

Außerdem geht die Verteilung von einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit aus (oft als \( p \) bezeichnet). Diese Annahme trifft in vielen realen Situationen nicht zu, da die Erfolgswahrscheinlichkeit aufgrund verschiedener Faktoren variieren kann, was die Annahme einer konstanten Wahrscheinlichkeit zu stark vereinfacht und manchmal ungenau ist.

Eine weitere entscheidende Annahme ist, dass jeder Versuch oder jedes Ereignis unabhängig von anderen ist. Diese Unabhängigkeitsannahme ist zwar in vielen Fällen zutreffend, aber nicht immer, insbesondere in Szenarien, in denen Ereignisse miteinander korrelieren oder voneinander abhängig sind.

Außerdem eignet sich die Bernoulli-Verteilung nicht für die Modellierung von Zähldaten, auch wenn diese diskret sind. Für Zähldaten, die Ereignisse darstellen, die in einem bestimmten Intervall mehr als einmal auftreten können, sind Verteilungen wie die Poisson- oder Binomialverteilung erforderlich, die solche Szenarien effektiv behandeln können.

Es handelt sich um einen Spezialfall der Binomialverteilung, bei der nur ein einziger Versuch durchgeführt wird \( n = 1 \). Diese Einfachheit ist zwar von Vorteil, kann aber bei Szenarien mit mehreren Versuchen oder Ereignissen einschränkend wirken.

Die Bernoulli Verteilung schließlich ist durch einen einzigen Parameter, die Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \), gekennzeichnet. In komplexen Szenarien, in denen mehrere Faktoren das Ergebnis beeinflussen, können Verteilungen mit zusätzlichen Parametern besser geeignet sein und eine größere Flexibilität bei der Modellierung bieten.

Das Verständnis dieser Einschränkungen ist von entscheidender Bedeutung, wenn es darum geht, festzustellen, ob die Bernoulli Verteilung eine bestimmte Situation korrekt modelliert. Es ist wichtig, eine Verteilung zu wählen, die den Eigenschaften und Feinheiten des jeweiligen Problems entspricht, um eine präzise Modellierung und Analyse zu ermöglichen.

Wie gut ist die Bernoulli Verteilung im Vergleich zu anderen Verteilungen?

Die Bernoulli Verteilung ist eine grundlegende Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einzigartigen Merkmalen, die jedoch eng mit mehreren anderen Verteilungen verwandt ist. Das Verständnis dieser Beziehungen kann helfen zu klären, wann die Bernoulli Verteilung zu verwenden ist und wann man Alternativen in Betracht ziehen sollte. Im Folgenden wird die Bernoulli Verteilung mit der Binomialverteilung, der Geometrischen Verteilung und der Poisson-Verteilung verglichen:

1. Bernoulli vs. Binomialverteilung:

• Gemeinsamkeiten: Die Bernoulli Verteilung repräsentiert einen einzelnen Versuch mit zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg. Die Binomialverteilung hingegen erweitert dies auf mehrere Versuche, die jeweils einer Bernoulli Verteilung folgen.
• Parameter: Die Bernoulli Verteilung hat einen einzigen Parameter, p, der die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch angibt. Bei der Binomialverteilung gibt es einen zusätzlichen Parameter, n, der die Anzahl der Versuche angibt.
• Anwendungsfälle: Während sich die Bernoulli Verteilung für die Modellierung eines einzelnen Ereignisses eignet, wird die Binomialverteilung verwendet, wenn eine feste Anzahl unabhängiger Bernoulli-Versuche vorliegt. Sie ist daher ideal für Szenarien wie das Zählen der Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen.

2. Bernoulli vs. Geometrische Verteilung:

• Gemeinsamkeiten: Sowohl die Bernoulli Verteilung als auch die Geometrische Verteilung befassen sich mit binären Ergebnissen (Erfolg oder Misserfolg). Sie unterscheiden sich jedoch in Bezug auf die Anzahl der beteiligten Versuche.
• Parameter: Bei der Bernoulli Verteilung gibt es einen einzigen Parameter, p, der die Erfolgswahrscheinlichkeit angibt. Bei der geometrischen Verteilung gibt es einen einzigen Parameter, p, der die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs darstellt, und n, der die Anzahl der Versuche angibt, die erforderlich sind, um diesen Erfolg zu erzielen.
• Anwendungsfälle: Die Bernoulli Verteilung eignet sich für einmalige Ereignisse, während die Geometrische Verteilung die Anzahl der Versuche modelliert, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg zu erzielen. Sie wird häufig in Szenarien verwendet, in denen man an der Zeit oder den Versuchen interessiert ist, die erforderlich sind, um einen Erfolg zu erzielen (z. B. die Anzahl der Münzwürfe, bevor man Kopf erhält).

3. Bernoulli vs. Poisson-Verteilung:

• Gemeinsamkeiten: Sowohl die Bernoulli- als auch die Poisson-Verteilung befassen sich mit binären Ergebnissen (Erfolg oder Misserfolg), aber sie werden in völlig unterschiedlichen Zusammenhängen verwendet.
• Parameter: Die Bernoulli Verteilung hat einen einzigen Parameter, p, der die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch angibt. Die Poisson-Verteilung hat einen einzigen Parameter, λ (Lambda), der die durchschnittliche Anzahl der Erfolge in einem festen Zeit- oder Raumintervall angibt.
• Anwendungsfälle: Die Bernoulli Verteilung wird zur Modellierung einzelner, unabhängiger Ereignisse verwendet, während die Poisson-Verteilung zur Beschreibung der Anzahl von Ereignissen verwendet wird, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten, wenn diese Ereignisse selten und zufällig sind.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Bernoulli Verteilung als Grundbaustein für verschiedene andere Verteilungen dient. Sie ist eine einfache Verteilung für einen einzigen Versuch, während die Binomialverteilung sie auf mehrere Versuche ausdehnt, die Geometrische Verteilung sich auf die Anzahl der Versuche konzentriert, die für den ersten Erfolg erforderlich sind, und die Poisson-Verteilung sich mit dem Auftreten seltener Ereignisse in einem festen Intervall beschäftigt. Das Verständnis dieser Zusammenhänge ermöglicht es Statistikern und Datenanalysten, die geeignete Verteilung für die effektive Modellierung verschiedener realer Szenarien zu wählen.

Das solltest Du mitnehmen

• Die Bernoulli Verteilung bildet die Grundlage für das Verständnis diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen und dient als Baustein für komplexere Modelle.
• Ihre Hauptanwendung ist die Modellierung binärer Ergebnisse, was sie zu einem grundlegenden Werkzeug in verschiedenen Bereichen macht, darunter Statistik, maschinelles Lernen und Finanzen.
• Die Bernoulli Verteilung ist einfach, effizient und rechnerisch unkompliziert, was sie für schnelle Analysen und erste Einschätzungen praktisch macht.
• Allerdings ist sie auf Szenarien beschränkt, bei denen sich die Ergebnisse auf zwei Möglichkeiten reduzieren lassen, was ihre Anwendbarkeit in vielfältigeren realen Situationen einschränkt.
• Die Annahme einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit trifft in vielen praktischen Fällen nicht zu, was sich auf die Genauigkeit des Modells auswirkt.
• Die Konzentration der Bernoulli Verteilung auf einen einzigen Versuch ist eine Einschränkung, wenn es um Szenarien mit mehreren Versuchen oder Ereignissen geht.
• Um die Bernoulli Verteilung genau anwenden und geeignete Modelle für verschiedene reale Szenarien auswählen zu können, ist es wichtig, ihre Grenzen zu kennen.

Andere Beiträge zum Thema Bernoulli Verteilung

Hier findest Du die Dokumentation, wie Du die Bernoulli-Verteilung in SciPy verwenden kannst.