Matrixmultiplikation – einfach erklärt!

Die Matrixmultiplikation ist eine grundlegende Fertigkeit in der Matrik und beschreibt das Vorgehen, um zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren. Das Verfahren wird in unterschiedlichsten realen Anwendungen, wie beispielsweise dem Machine Learning, genutzt, weshalb es wichtig ist, die Vorgehensweise bei der Multiplikation genauestens zu verstehen. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit der Definition von Matrizen und wie genau mehrere Matrizen miteinander multipliziert werden können. Außerdem beleuchten wir einige Rechenregeln und die Anwendungen von Matrixmultiplikation.

Was sind Matrizen?

Matrizen sind zentrale, mathematische Strukturen innerhalb der Linearen Algebra und beschreiben rechteckige Anordnungen von Elementen, die Daten in Zeilen und Spalten abspeichern. Typischerweise nutzt man Großbuchstaben, wie A, B oder C, um Matrizen zu beschreiben. Um eine Matrix und deren Form genauer zu beschreiben, wird die Anzahl der Zeilen und der Spalten genutzt. Dabei wird die Zahlenzahl mit einem “x” von der Spaltenzahl getrennt.

Eine 3×2 Matrix beispielsweise, beschreibt dann eine Anordnung von Elementen mit drei Zeilen und zwei Spalten. Wichtig ist hierbei, dass die Zeilenzahl immer zuerstn genannt wird. Entsprechend dieser Logik wird auch auf die einzelnen Elemente referenziert, die mit Kleinbuchstaben versehen werden. Die Matrix \(A\) besteht also aus den einzelnen Elementen \(a_{ij}\), wobei \(i\) für den Zeilen- und \(j\) für den Spaltenindex des Elements steht.

Eine allgemeine 3×2 Matrix kann in dieser Schreibweise, wie folgt, definiert werden:

\(\)\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \]

Matrizen werden aufgrund ihrer Vielfältigkeit in verschiedenen Anwendungen, wie beispielsweise der Physik, der Informatik oder der Ingenieurswissenschaft eingesetzt. Die umfangreichen mathematischen Operationen, wie unter anderem die Matrixmultiplikation, ermöglichen es, dass sich Matrizen sehr gut eignen, um diverse reale Vorgänge abzubilden.

So werden diese zum Beispiel genutzt, um sogenannte Lineare Gleichungssystem abzubilden, also eine Anordnung von mehreren linearen Gleichungen. Mithilfe der Operationen von Matrizen lassen sich dann die Lösungen des Gleichungssystemen bestimmen. Darüber hinaus lassen sich diese rechteckigen Datenanordnungen nutzen, um Bilder in Computergraphiken abzuspeichern oder um Transformationen in der Geometrie zu tätigen.

Wie funktioniert die Matrixmultiplikation?

Die Matrixmultiplikation ist eine zentrale Operation in der linearen Algebra, bei der zwei Matrizen miteinander multipliziert werden und dabei eine neue Matrix als Ergebnis liefern. Dabei wird das Skalarproduct aus den Zeilenvektoren der einen und den Spaltenvektoren der anderen Matrix gebildet. Wie die Vorgehensweise genau funktioniert, schauen wir uns in diesem Kapitel genauer an.

Übereinstimmung der Dimensionen:

• Damit die Matrixmultiplikation durchgeführt werden kann und ein valides Ergebnis liefert, muss vor der Durchführung sichergestellt werden, dass die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen aus der zweiten Matrix übereinstimmen. Wenn dies nicht der Fall ist, kann die Multiplikation nicht durchgeführt werden.
• Um zu prüfen, ob diese Voraussetzung erfüllt ist, können die Dimensionen der zwei Elemente miteinander verglichen werden. Dabei ergibt sich dann auch automatisch die Struktur der Ergebnismatrix.
• Wenn Matrix A die Dimension m x n hat, also aus m-Zeilen und n-Spalten, besteht, und die Matrix B die Dimensionen n x p hat, also aus n-Zeilen und p-Spalten besteht, dann kann die Matrixmultiplikation durchgeführt werden, da n = n. Außerdem erfährt man, dass die Ergebnismatrix die Dimension m x p hat, also aus m-Zeilen und p-Spalten besteht.

Kalkulation der einzelnen Elemente:

• Um die Matrixmultiplikation aus A und B bilden zu können, wird das Skalarprodukt aus den Zeilenvektoren von A und den Spaltenvektoren aus B gebildet. Somit besteht die Ergebnismatrix C aus den einzelnen Elementen \(c_{ij}\), wobei dieses Element das Produkt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem j-ten Spaltenvektor von B ist.
• Dieses Element berechnet sich mithilfe der Formel für das Skalarprodukt, wonach die übereinstimmenden Elemente miteinander multipliziert werden und anschließend die Summe daraus gebildet wird:

\(\)\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \]

Beispiel:

• Angenommen wir wollen die Matrix A mit der Dimension 2 x 3 (also zwei Zeilen und drei Spalten) mit der Matrix B der Dimension 3 x 2 (drei Zeilen und zwei Spalten) multiplizieren. Dann erhalten wir eine Ergebnismatrix C der Form 2 x 2.
• Um das erste Element \(c_{11}\) der Ergebnismatrix zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
  • \(c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}\)
  • \(c_{11} = (a_{11} \times b_{11}) + (a_{12} \times b_{21}) + (a_{13} \times b_{31})\)
  • Die anderen Elemente der Ergebnismatrix (z.B. \(c_{12}, c_{21}, c_{22})\) werden nach demselben Schema berechnet.

Die Matrixmultiplikation spielt eine zentrale Rolle in der linearen Algebra und bildet das Produkt aus zwei Matrizen, indem das Skalarprodukt aus Zeilen- und Spaltenvektoren der einzelnen Matrizen gebildet werden und sich daraus eine neue Matrix ergibt.

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, um eine Matrixmultiplikation durchführen zu können?

Die Matrixmultiplikation in der Mathematik erfordert die Einhaltung bestimmter Bedingungen, um genau zu funktionieren. Für zwei Matrizen, A und B, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

1. Kompatibilität der Dimensionen:
   • Die Anzahl der Spalten in Matrix A muss gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix B sein, damit die Matrizen multipliziert werden können.
   • Wenn Matrix A die Dimensionen m x n (m Zeilen und n Spalten) und Matrix B die Dimensionen n x p (n Zeilen und p Spalten) hat, hat die resultierende Matrix C die Dimensionen m x p.
   • Wenn z. B. die Matrix A die Größe m x n und die Matrix B die Größe n x p hat, muss die Anzahl der Spalten in A gleich der Anzahl der Zeilen in B (d. h. n) sein.
2. Vereinbarung der inneren Dimensionen:
   • Bei einer gültigen Multiplikationsoperation der Matrizen A und B müssen die inneren Dimensionen übereinstimmen. Die Anzahl der Spalten in Matrix A muss mit der Anzahl der Zeilen in Matrix B übereinstimmen.
3. Die Reihenfolge der Multiplikation ist wichtig:
   • Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; die Reihenfolge der Multiplikation spielt eine Rolle. Im Allgemeinen gilt \(AB \neq BA\), d. h. die Reihenfolge, in der die Matrizen multipliziert werden, hat Auswirkungen auf das Ergebnis.
   • Die Reihenfolge der Matrizen bei der Multiplikation muss der Regel folgen: Wenn A die Größe m x n und B die Größe n x p hat, müssen die Matrizen als A * B multipliziert werden.
4. Größe der resultierenden Matrix:
   • Die aus der Multiplikation der Matrizen A und B resultierende Matrix hat Abmessungen, die den äußeren Abmessungen der ursprünglichen Matrizen entsprechen. Wenn A m x n und B n x p groß ist, hat die resultierende Matrix C die Größe m x p.

Die Einhaltung dieser Bedingungen ist entscheidend für eine genaue Matrixmultiplikation. Ein Verstoß gegen diese Bedingungen kann zu Fehlern bei der Dimensionsanpassung oder zur falschen Berechnung der resultierenden Matrix führen. Die Einhaltung dieser Regeln gewährleistet die ordnungsgemäße Ausführung von Matrixmultiplikationsoperationen in mathematischen Berechnungen und Anwendungen.

Wie hoch ist die Rechenkomplexität einer Matrixmultiplikation?

Wenn man innerhalb der Programmierung mit große Matrizen arbeitet und diese miteinaner multiplizieren will, spielt die Rechenkomplexität eine große Rolle, um den Computer oder Server nicht zu überlasten. Der klassische Ansatz, der auch in diesem Artikel beschrieben wurde, hat eine kubische Zeitkomplexität, was bedeutet, dass die Zeit, die ein Algorithmus benötigt, proportional zu dem kubischen der Größe des Inputs ist. Im Klartext bedeutet dies, dass eine Matrixmultiplikation mit doppelt so großen Matrizen nicht zweimal so lange benötigt, sondern eben \(2^3\), also achtmal, so lange.

Für zwei n x n Matrizen ergeben sich also bei einer klassischen Matrixmultiplikation eine Zeitkomplexität von \(O(n^3)\) für die Skalarprodukte und Additionen der Ergebnismatrix. Diese Komplexität ergibt sich, da eine dreifache Schleife benötigt wird, um jedes Element der Matrix zu berechnen.

Aufgrund dieser schlechten Skalierbarkeit der Matrixmultiplikation wurden effizientere Algorithmen vorgestellt, wie beispielsweise der Strassen Algorithmus. Dieser schafft es die Zeitkomplexität immerhin auf \(O(n^{2.81})\) zu reduzieren, indem die Zahl der Multiplikationen verringert wird, da kleinere Submatrizen betrachtet werden.

Darüber hinaus gibt es noch weitere Algorithmen, unter anderem der Coppersmith-Winograd Algorithmus, die versuchen, die Zeitkomplexität der Matrixmultiplikation noch weiter zu verringern. In der Theorie schaffen sie dies auch, in der Praxis jedoch benötigen sie auch lange für die Berechnung, da die Vorgehensweise mit einem großen Overhead verbunden ist, der sich wiederum negativ auf die Zeit und Performance auswirkt.

Besonders in Anwendungen in denen große Matrizen miteinander multipliziert werden, wie beispielsweise im Machine Learning oder anderen wissenschaftlichen Simulationen, spielt die Zeit- und Rechenkomplexität der Matrixmultiplikation eine enorme Rolle. Deshalb wird auch weiterhin daran geforscht den Algorithmus effizienter zu gestalten, um Rechenressourcen zu sparen.

Welche praktischen Anwendungen nutzen die Matrixmultiplikation?

Die Matrixmultiplikation wird in verschiedensten Anwendungen benutzt, um komplexe Probleme abzubilden und zu lösen. In diesem Kapitel stellen wir einige der am weitesten verbreiteten Anwendungen vor:

1. Computergrafik: Das Bearbeiten von Bildern und Videos, wie beispielsweise durch Zuschneiden oder Rotieren der Bilder, basiert auf verschiedensten Matrixoperationen, wie unter anderem auch der Matrixmultiplikation. In den Matrizen werden die Transformierungen numerisch abgespeichert und dann durch Matrixmultiplikation auf das schlussendliche Element angewendet, wodurch die Animation zu Stande kommt.
2. Physik und Naturwissenschaften: In naturwissenschaftlichen Simulationen müssen häufig eine Reihe von linearen Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein. Diese werden mithilfe von Matrizen dargestellt und unter anderem mithilfe von Matrixmultiplikation gelöst. Dadurch ist es beispielsweise möglich dynamische Systeme oder Flüsse zu lösen.
3. Maschinelles Lernen und Datenanalyse: Beim maschinellen Lernen stellen Matrizen Datensätze dar, und Matrixoperationen sind für Algorithmen wie neuronale Netze von zentraler Bedeutung. Die Matrixmultiplikation führt Operationen an Gewichten, Eingaben und Aktivierungen durch und beeinflusst das Modelllernen und die Vorhersagen. Darüber hinaus stützen sich in der Datenanalyse Techniken wie die Hauptkomponentenanalyse (PCA) stark auf Matrixmultiplikationen, um die Dimensionalität zu reduzieren und Merkmale zu extrahieren.
4. Wirtschaft und Finanzen: Matrixberechnungen spielen eine entscheidende Rolle bei der Wirtschaftsmodellierung, der Input-Output-Analyse und der Finanzmodellierung. Zu den Anwendungen gehören die Optimierung von Portfolios, die Analyse von Markttrends und die Modellierung von Wirtschaftssystemen.
5. Signalverarbeitung und Bildverarbeitung: In der Signalverarbeitung stellen Matrizen Signale dar, und Operationen wie Faltung oder Fourier-Transformation beinhalten Matrixberechnungen. Bildverarbeitungstechniken wie Filter, Transformationen und Komprimierung beruhen auf Matrixoperationen zur Pixelmanipulation.
6. Netzwerke und Graphentheorie: Matrizen modellieren Netzwerkverbindungen und erleichtern so Analysen in der Graphentheorie und Netzwerkwissenschaft. Die Multiplikation von Adjazenzmatrizen oder Übergangsmatrizen kann Einblicke in die Eigenschaften und das Verhalten von Netzwerken gewähren.
7. Optimierung und Operations Research: Probleme in den Bereichen Optimierung, Logistik und Ressourcenzuweisung werden häufig als Matrizen dargestellt. Matrixoperationen helfen bei der Lösung von Problemen der linearen Programmierung, des Transports und der Optimierung des Netzwerkflusses.

Diese Anwendungen kratzen nur an der Oberfläche des weit verbreiteten Nutzens der Matrixmultiplikation. Ihre Fähigkeit, komplexe Datenstrukturen zu modellieren, zu manipulieren und zu analysieren, macht sie zu einem grundlegenden Werkzeug in zahlreichen wissenschaftlichen, technischen, rechnerischen und datengesteuerten Disziplinen, das wichtige Berechnungen und Analysen in verschiedenen realen Szenarien ermöglicht.

Wie hängt die Matrixmultiplikation mit der Transponierung und der Umkehrung einer Matrix zusammen?

Die Operationen der Matrixtransponierung und der Umkehrung einer Matrix sind in der linearen Algebra von entscheidender Bedeutung und bieten wertvolle Einblicke in Matrixeigenschaften, Transformationen und das Lösen von Gleichungen. Obwohl es sich um unterschiedliche Operationen handelt, interagieren sie mit der Matrixmultiplikation auf unterschiedliche Weise:

Matrixtransponierung:

• Die Transponierung einer Matrix A, bezeichnet als \(A^T\), erhält man durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten. Bei einer Matrix A mit den Abmessungen m x n hat ihre Transponierte \(A^T\) die Abmessungen n x m.
• Die Transposition wirkt sich auf die Matrixmultiplikation aus, indem sie die Anordnung der Elemente in den Matrizen verändert. Bei der Multiplikation der Matrizen A und B ändert das Transponieren einer oder beider Matrizen das Ergebnis der Operation. Die Reihenfolge der Multiplikation bleibt jedoch entscheidend, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist (d. h. \(AB \neq BA\) im Allgemeinen).

Inverse Matrix:

• Die Inverse einer quadratischen Matrix A, bezeichnet als \(A^{-1}\), ist eine Matrix, die, wenn sie mit A multipliziert wird, die Identitätsmatrix (bezeichnet als I) ergibt. Nicht alle Matrizen haben eine Inverse, und für diejenigen, die eine Inverse haben, ist die Inversionsoperation entscheidend für die Lösung von linearen Gleichungssystemen und zahlreiche mathematische Berechnungen.
• Inverse Matrizen interagieren mit der Matrixmultiplikation, so dass, wenn A eine Inverse \(A^{-1}\) hat, dann \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\), wobei I die Identitätsmatrix ist.

Beziehung zur Matrixmultiplikation:

• Die Multiplikation von Matrizen mit Transponierungs- oder Umkehroperationen ist aufgrund ihrer spezifischen Regeln und Bedingungen nicht trivial. Die Reihenfolge der Operationen ist von Bedeutung, und nicht alle Matrizen haben Inversen oder Transponierte.
• Die Transponierung eines Produkts von Matrizen entspricht dem Produkt ihrer Transponierungen in umgekehrter Reihenfolge (d. h. \((AB)^T = B^T \cdot A^T)\).
• Bei inversen Matrizen ist das Produkt von zwei Inversen das Inverse ihres Produkts (d. h. \((AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1})\), aber die Reihenfolge der Inversen bei der Multiplikation ist entscheidend.

Das Verständnis der Beziehung zwischen Matrixtransponierung, Umkehroperationen und Matrizenmultiplikation ist von zentraler Bedeutung für verschiedene mathematische Berechnungen, Umformungen und das Lösen von Gleichungssystemen und bietet wesentliche Werkzeuge für Analysen und Berechnungen in verschiedenen Bereichen.

Wie kann eine Matrixmultiplikation in Python durchgeführt werden?

Python bietet eigene Bibliotheken, die eine Matrixmultiplikation ermöglichen. In NumPy werden die sogenannten Arrays genutzt, um einen Vektor oder eine Matrix abzubilden und sie miteinander zu multiplizieren.

In diesem Beispiel bilden wir mithilfe von np.array() zwei Matrizen A und B mit den Dimensionen 2 x 3 und 3 x 3. Diese lassen sich entweder mithilfe von dem @ Operator oder aber der Funktion np.dot() miteinander multiplizieren. Das Ergebnis kann dann in der Variablen result abgespeichert werden und mithilfe von print() ausgegeben werden.

Die Bibliothek NumPy ist dabei eine beliebte Wahl für Operationen im Bereich der linearen Algebra, da es neben der Matrixmultiplikation auch andere Operationen mit Matrizen und Arrays bietet.

Diese einfache Berechnung in Python bietet die Möglichkeit schnell und einfach selbst Übungsaufgaben zu generieren, um die Matrixmultiplikation zu erlernen und die eigene Lösung zu prüfen. Durch eine leichte Variation der Zahlen lassen sich direkt neue Aufgaben erstellen.

Das solltest Du mitnehmen

• Die Matrixmultiplikation ist eine zentrale Operation in der linearen Algebra, die in verschiedensten realen Anwendungen zum Einsatz kommt.
• Neben der Anwendung im Bereich der Computergrafiken, wird diese auch in der Physik, dem Machine Learning und den Ingenieurswissenschaften genutzt.
• Bei der Matrixmultiplikation wird eine neue Ergebnismatrix erstellt, indem die Zeilenvektoren der ersten Matrix mit den Spaltenvektoren der zweiten Matrix unter Nutzung des Skalarprodukts miteinander multipliziert werden.
• Für die Computerprogrammierung ist es wichtig, die Komplexität dieses Algorithmus zu verstehen, um auch große Matrizen schnell berechnen zu können, ohne an Genauigkeit zu verlieren.
• In Python kann die Bibliothek NumPy genutzt werden, um die Matrixmultiplikation durchzuführen. Die Matrizen werden mithilfe von NumPy Arrays abgebildet.

Andere Beiträge zum Thema Matrixmultiplikation

Hier findest Du ein ausführliches Aufgabenblatt mit Lösungen, um die Matrixmultiplikation zu üben.