Zum Inhalt springen

Erwartungswert

Der Erwartungswert beschreibt mit welchem Ergebnis in einem Zufallsexperiment zu rechnen ist, wenn es sehr häufig wiederholt wird. Der Begriff kommt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der sogenannten Stochastik. Bei einem Würfelwurf gibt der Erwartungswert beispielsweise Auskunft darüber mit welchem Wert man langfristig rechnen kann, wenn man sehr oft hintereinander würfelt. 

Merke: Im Allgemeinen sind der Erwartungswert und das arithmetische Mittel zwei unterschiedliche Konzepte, die sich in den meisten Fällen auch für dasselbe Zufallsexperiment unterscheiden werden. Nur wenn ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird, haben der Erwartungswert und das arithmetische Mittel denselben Wert. 

Berechnung für diskrete Zufallsvariablen

Ein Zufallsexperiment mit einer diskreten Zufallsvariable ist dadurch gekennzeichnet, dass es nur eine endliche Menge an Ergebnissen gibt. Im Falle eines Würfelwurfs bedeutet das, dass das Ergebnis eine der sechs Zahlen zwischen 1 und 6 sein muss. Die Augenzahlen haben dabei die folgenden Eintrittswahrscheinlichkeiten:

x123456
P(X = x)1/61/61/61/61/61/6
Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelwurfs

Für eine diskrete Zufallsvariable X, welche die Werte x1, x2, …, xn mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = xi) annimmt, berechnet man den Erwartungswert E(X) wie folgt:

\(\) \[E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + … + x_n * P(X = x_n)\]

In Worten: Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Werten der Zufallsvariablen multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeiten. 

Für unser Beispiel bedeutet das:

\(\) \[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 \]

Das bedeutet, dass man langfristig beim Werfen eines einzelnen Würfels einen Wert von 3,5 erwarten kann. 

Berechnung für stetige Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariable in dem Experiment jeden Wert innerhalb eines gewissen Intervalls einnehmen kann, spricht man von einer stetigen Zufallsvariable. Stetige Zufallsvariablen sind beispielsweise Körpergrößen, die mittlere Temperatur in einem Kühlschrank oder die Geschwindigkeit eines Autos an einer Radarkontrolle. Stetige Zufallsvariablen treten vor allem dann auf, wenn der Wert durch ein Messverfahren zustande kommt und der Prozess durch Störgrößen beeinflusst wird. 

Wenn wir den Erwartungswert für eine stetige Zufallsvariable berechnen wollen, können wir dies nicht tun, indem wir alle möglichen Werte der Zufallsvariablen multipliziert mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit aufsummieren, da es theoretisch unendliche viele Werte gibt, die die Variable annehmen kann. Deshalb wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen durch die Dichtefunktion beschrieben und deren Integral der Verteilungsfunktion. Diese kennen wir bereits von der Normalverteilung

Die Verteilungsfunktion kann genutzt werden, um den Erwartungswert berechnen zu können. Dazu wird der Bereich, in dem die Zufallsvariable liegen soll als Intervallgrenzen genutzt. 

Beispiel Temperatur Kühlschrank

Die Kühlschranktemperatur variiert zwischen 0 und 4 Grad Celsius, wenn die Tür geöffnet wird oder weil Strom gespart werden soll. Viele moderne Kühlschränke lassen den Innenraum gezielt ein bisschen aufwärmen, bevor sie wieder starten zu kühlen, um möglichst effizient zu arbeiten und Strom zu sparen. Diese Schwankungen können durch diese Dichtefunktion beschrieben werden:

\(\) \[f (x) = \left\{
\begin{array}{ll}
-0,125x + 0,5 & 0 \leq x \leq 4 \\
0 & \, \textrm{sonst} \\
\end{array}
\right. \]

Wenn wir dafür das Intervall mit den Grenzen 0 und 4 berechnen, erhalten wir den Erwartungswert:

\(\) \[E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot (-0,125x + 0,5) \text{dx} = \left[-124x³ + 14x²\right]_{0}^{4}= \frac{4}{3} – 0 = \frac{4}{3}\]

Somit beträgt die zu erwartende Temperatur im Kühlschrank etwa 1,3 Grad Celsius.

Das solltest Du mitnehmen

  • Der Erwartungswert und das arithmetische Mittel (umgangssprachlich: Durchschnitt) sind nur in wenigen Grenzfällen dasselbe.
  • Der Erwartungswert drückt aus, mit welchem Ergebnis man langfristig rechnen kann, wenn man ein Zufallsexperiment oft ausführt.
  • Für diskrete Zufallsvariablen gilt: Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Werten der Zufallsvariablen multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeiten.
  • Für stetige Zufallsvariablen nutzen wir die Verteilungsfunktion und bilden das Intervall für den Bereich, den wir untersuchen wollen.

Andere Beiträge zum Thema Erwartungswert

  • Eine andere Herangehensweise mit Beispielen findest Du hier.
close
Das Logo zeigt einen weißen Hintergrund den Namen "Data Basecamp" mit blauer Schrift. Im rechten unteren Eck wird eine Bergsilhouette in Blau gezeigt.

Verpass keine neuen Beiträge!

Wir versenden keinen Spam! Lies die Details gerne in unserer Datenschutzrichtlinie nach.

Cookie Consent mit Real Cookie Banner