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Erwartungswert – einfach erklärt!

Der Erwartungswert beschreibt mit welchem Ergebnis in einem Zufallsexperiment zu rechnen ist, wenn es sehr häufig wiederholt wird. Der Begriff kommt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der sogenannten Stochastik. Bei einem Würfelwurf gibt der Erwartungswert beispielsweise Auskunft darüber mit welchem Wert man langfristig rechnen kann, wenn man sehr oft hintereinander würfelt. 

Merke: Im Allgemeinen sind der Erwartungswert und das arithmetische Mittel zwei unterschiedliche Konzepte, die sich in den meisten Fällen auch für dasselbe Zufallsexperiment unterscheiden werden. Nur wenn ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird, haben der Erwartungswert und das arithmetische Mittel denselben Wert. 

Wie wird er für diskrete Zufallsvariablen berechnet?

Ein Zufallsexperiment mit einer diskreten Zufallsvariable ist dadurch gekennzeichnet, dass es nur eine endliche Menge an Ergebnissen gibt. Im Falle eines Würfelwurfs bedeutet das, dass das Ergebnis eine der sechs Zahlen zwischen 1 und 6 sein muss. Die Augenzahlen haben dabei die folgenden Eintrittswahrscheinlichkeiten:

x123456
P(X = x)1/61/61/61/61/61/6
Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelwurfs

Für eine diskrete Zufallsvariable X, welche die Werte x1, x2, …, xn mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = xi) annimmt, berechnet man den Erwartungswert E(X) wie folgt:

\(\) \[E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + … + x_n * P(X = x_n)\]

In Worten: Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Werten der Zufallsvariablen multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeiten. 

Für unser Beispiel bedeutet das:

\(\) \[E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 \]

Das bedeutet, dass man langfristig beim Werfen eines einzelnen Würfels einen Wert von 3,5 erwarten kann. 

Wie wird er für stetige Zufallsvariablen berechnet?

Wenn die Zufallsvariable in dem Experiment jeden Wert innerhalb eines gewissen Intervalls einnehmen kann, spricht man von einer stetigen Zufallsvariable. Stetige Zufallsvariablen sind beispielsweise Körpergrößen, die mittlere Temperatur in einem Kühlschrank oder die Geschwindigkeit eines Autos an einer Radarkontrolle. Stetige Zufallsvariablen treten vor allem dann auf, wenn der Wert durch ein Messverfahren zustande kommt und der Prozess durch Störgrößen beeinflusst wird. 

Wenn wir den Erwartungswert für eine stetige Zufallsvariable berechnen wollen, können wir dies nicht tun, indem wir alle möglichen Werte der Zufallsvariablen multipliziert mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit aufsummieren, da es theoretisch unendliche viele Werte gibt, die die Variable annehmen kann. Deshalb wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen durch die Dichtefunktion beschrieben und deren Integral der Verteilungsfunktion. Diese kennen wir bereits von der Normalverteilung

Die Verteilungsfunktion kann genutzt werden, um den Erwartungswert berechnen zu können. Dazu wird der Bereich, in dem die Zufallsvariable liegen soll als Intervallgrenzen genutzt. 

Beispiel Temperatur Kühlschrank

Die Kühlschranktemperatur variiert zwischen 0 und 4 Grad Celsius, wenn die Tür geöffnet wird oder weil Strom gespart werden soll. Viele moderne Kühlschränke lassen den Innenraum gezielt ein bisschen aufwärmen, bevor sie wieder starten zu kühlen, um möglichst effizient zu arbeiten und Strom zu sparen. Diese Schwankungen können durch diese Dichtefunktion beschrieben werden:

\(\) \[f (x) = \left\{
\begin{array}{ll}
-0,125x + 0,5 & 0 \leq x \leq 4 \\
0 & \, \textrm{sonst} \\
\end{array}
\right. \]

Wenn wir dafür das Intervall mit den Grenzen 0 und 4 berechnen, erhalten wir den Erwartungswert:

\(\) \[E(X) = \int_{0}^{4} x \cdot (-0,125x + 0,5) \text{dx} = \left[-124x³ + 14x²\right]_{0}^{4}= \frac{4}{3} – 0 = \frac{4}{3}\]

Somit beträgt die zu erwartende Temperatur im Kühlschrank etwa 1,3 Grad Celsius.

Wofür kann man den Erwartungswert nutzen?

Der Erwartungswert wird in den verschiedensten Anwendungen genutzt:

  • Glücksspiel: Um herauszufinden, ob ein Spiel fair ist oder nicht wird der Erwartungswert berechnet, abhängig von den möglichen Spielausgängen. Wenn er größer als Null ist, spricht man von einem Spiel, das für den Spieler günstig ist, da er langfristig Geld gewinnen kann. Bei einem Erwartungswert kleiner 0 spricht man von einem ungünstigen Spiel, da der Spieler langfristig Geld verliert.
  • Wirtschaft: In vielen betriebswirtschaftlichen Entscheidungssituationen sind Parameter involviert, die einer Wahrscheinlichkeit unterliegen. Wird die Maschine in den nächsten drei Monaten ausfallen? Wie wahrscheinlich ist es, dass ein bestimmter Mitarbeiter die Firma in den nächsten 12 Monaten verlässt? In solchen Situation wird der Erwartungswert berechnet, um feststellen zu können, ob ein Investment einen Gewinn abwerfen wird oder nicht.
  • Kapitalmarkt: Auch hier müssen die Finanzinstitute mit vielen Unsicherheiten rechnen und können nicht fest von einem Kursgewinn oder -verlust ausgehen. Bei der Portfolioerstellung, also der Zusammenstellung von verschiedenen Aktien zu einem Portfolio, wird unter anderem auf den gewichteten Mittelwert vertraut.

Das solltest Du mitnehmen

  • Der Erwartungswert und das arithmetische Mittel (umgangssprachlich: Durchschnitt) sind nur in wenigen Grenzfällen dasselbe.
  • Der Erwartungswert drückt aus, mit welchem Ergebnis man langfristig rechnen kann, wenn man ein Zufallsexperiment oft ausführt.
  • Für diskrete Zufallsvariablen gilt: Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Werten der Zufallsvariablen multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeiten.
  • Für stetige Zufallsvariablen nutzen wir die Verteilungsfunktion und bilden das Intervall für den Bereich, den wir untersuchen wollen.

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  • Eine andere Herangehensweise mit Beispielen findest Du hier.
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