Die Poisson Regression ist ein statistisches Verfahren zur Modellierung der Beziehung zwischen einer Antwortvariablen und einem Satz von Vorhersagevariablen, wenn die Antwortvariable eine Zählvariable ist. Sie ist ein leistungsfähiges Instrument für die Analyse von Daten aus verschiedenen Bereichen, darunter Epidemiologie, Finanzen und Technik.

In diesem Artikel wird die Poisson Regression eingehend erläutert, einschließlich ihrer Annahmen, Einschränkungen und Anwendungen. Außerdem wird erörtert, wie die Modellkoeffizienten zu interpretieren sind und wie mithilfe des Poisson-Regressionsmodells Vorhersagen getroffen werden können. Ob Du Forscher, Analyst oder Student bist, dieser Artikel wird Dir helfen, diese wertvolle statistische Technik zu verstehen und bei Deiner eigenen Arbeit anzuwenden.

Was sind die Annahmen der Poisson Regression?

Annahmen sind ein wichtiger Aspekt der statistischen Modellierung. Sie helfen dabei, die Gültigkeit des Modells zu bewerten und die Ergebnisse zu interpretieren. Hier sind einige der Annahmen der Poisson-Regression:

1. Unabhängigkeit: Die Beobachtungen müssen unabhängig voneinander sein.
2. Linearität: Die Beziehung zwischen der Antwortvariablen und den Prädiktorvariablen muss linear sein.
3. Homogenität der Varianz: Die Varianz der Antwortvariable muss für alle Niveaus der Prädiktorvariablen konstant sein.
4. Abwesenheit von Multikollinearität: Es sollte keine hohe Korrelation zwischen den Prädiktorvariablen bestehen.
5. Modellanpassung: Das Modell sollte angemessen an die Daten angepasst sein.

Verstöße gegen diese Annahmen können zu verzerrten Schätzungen und ungültigen Schlussfolgerungen führen. Daher ist es wichtig, diese Annahmen zu überprüfen, bevor die Ergebnisse der Poisson-Regression interpretiert werden.

Wie funktioniert die Poisson Regression?

Die Poisson-Regression ist ein statistisches Verfahren, das zur Modellierung der Beziehung zwischen einer Antwortvariablen und einer oder mehreren Vorhersagevariablen verwendet wird. Sie wird in der Regel für Zähldaten verwendet, die nicht negativ sind und eine Poisson-Verteilung aufweisen. In diesem Abschnitt wird erörtert, wie die Poisson Regression funktioniert:

1. Definition: Die Poisson Regression modelliert den erwarteten Wert der Antwortvariablen als Funktion der Vorhersagevariablen unter Verwendung einer logarithmischen Verknüpfungsfunktion. Das Modell geht davon aus, dass die Antwortvariable einer Poisson-Verteilung folgt, die dadurch gekennzeichnet ist, dass der Mittelwert und die Varianz gleich sind.
2. Verknüpfungsfunktion: Die Verknüpfungsfunktion wandelt den erwarteten Wert der Antwortvariablen in eine lineare Kombination der Vorhersagevariablen um. Die logarithmische Verknüpfungsfunktion wird üblicherweise für die Poisson Regression verwendet, da sie gewährleistet, dass die vorhergesagten Werte nicht negativ sind.
3. Modell-Schätzung: Bei der Poisson Regression werden die Koeffizienten der Prädiktorvariablen mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt. Die Maximum-Likelihood-Methode findet die Parameterwerte, die die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung der Daten bei gegebenem Modell maximieren.
4. Anpassungsgüte (Goodness of Fit): Die Anpassungsgüte des Poisson-Regressionsmodells kann anhand der Abweichungsstatistik und der Pearson-Chi-Quadrat-Statistik bewertet werden. Diese Statistiken messen die Differenz zwischen den beobachteten und den vorhergesagten Werten.
5. Überdispersion: Überdispersion tritt auf, wenn die Varianz der Antwortvariablen größer ist als der Mittelwert. Bei der Poisson-Regression wird davon ausgegangen, dass der Mittelwert und die Varianz gleich sind, so dass eine Überdispersion zu verzerrten und ineffizienten Schätzungen führen kann. Eine Überdispersion kann durch die Verwendung einer negativen Binomialregression angegangen werden, bei der die Varianz den Mittelwert übersteigen kann.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Poisson Regression ein nützliches statistisches Verfahren zur Modellierung von Zähldaten mit einer oder mehreren Vorhersagevariablen ist. Sie geht davon aus, dass die Antwortvariable einer Poisson-Verteilung folgt und verwendet eine logarithmische Verknüpfungsfunktion, um den erwarteten Wert der Antwortvariable zu transformieren. Das Modell schätzt die Koeffizienten der Prädiktorvariablen mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode und kann mit Hilfe von Goodness-of-Fit-Statistiken bewertet werden. Eine Überdispersion kann durch eine negative Binomialregression berücksichtigt werden.

Wie schätzt man die Parameter der Poisson Regression?

Nachdem das Poisson Regressionsmodell definiert wurde, besteht der nächste Schritt in der Schätzung seiner Parameter. Die am häufigsten verwendete Methode zur Schätzung der Parameter eines Poisson-Regressionsmodells ist die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE).

Die Maximum-Likelihood-Schätzung zielt darauf ab, die Parameterwerte zu finden, die die Likelihood-Funktion maximieren, welche die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung der gegebenen Daten unter dem angenommenen Modell darstellt. Im Fall der Poisson Regression basiert die Likelihood-Funktion auf der Poisson-Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion und den beobachteten Zähldaten.

Das MLE-Verfahren passt die Parameterwerte iterativ an, bis es die Werte findet, die die höchste Wahrscheinlichkeit ergeben. Bei diesem Prozess wird die negative Log-Likelihood-Funktion minimiert, was einer Maximierung der Likelihood gleichkommt.

Statistische Softwarepakete, wie z. B. statsmodels von Python oder die glm-Funktion von R, bieten praktische Funktionen zur Schätzung von Poisson-Regressionsmodellen mit MLE. Diese Funktionen handhaben automatisch den numerischen Optimierungsprozess und liefern Parameterschätzungen, Standardfehler, p-Werte und Konfidenzintervalle.

Während des Schätzungsprozesses ist es wichtig, die Anpassungsgüte des Modells zu bewerten. Dies kann mit Hilfe verschiedener statistischer Maße geschehen, wie z. B. der Abweichung oder dem Likelihood-Ratio-Test. Die Abweichung vergleicht die Anpassung des Poisson-Regressionsmodells mit der Anpassung eines gesättigten Modells (ein Modell mit einem separaten Parameter für jede Beobachtung) und gibt Aufschluss darüber, wie gut das Modell den Daten entspricht.

Neben der Bewertung der Modellanpassung ist es von entscheidender Bedeutung, potenzielle Probleme zu berücksichtigen, die bei der Poisson-Regression auftreten können. Ein solches Problem ist die Überdispersion, bei der die Varianz der abhängigen Variable den Mittelwert übersteigt. Bei Vorliegen einer Überdispersion wird die Annahme der Gleichverteilung bei der Poisson-Regression verletzt. Um der Überdispersion zu begegnen, können alternative Modelle wie die negative Binomialregression oder die verallgemeinerte Poisson-Regression verwendet werden.

Darüber hinaus spielt die Modelldiagnose eine wichtige Rolle bei der Bewertung der Annahmen der Poisson-Regression. Die Analyse der Residuen, einschließlich der Überprüfung von Mustern in den Residuen und einflussreichen Beobachtungen, hilft bei der Identifizierung potenzieller Modellfehlspezifizierungen oder Ausreißer.

Es ist erwähnenswert, dass Poisson Regressionsmodelle mit Offset-Variablen geschätzt werden können, die eine Expositions- oder Zeitkomponente in den Daten berücksichtigen. Dies ist besonders nützlich bei der Analyse von Raten oder Inzidenzanteilen.

Insgesamt beinhaltet die Schätzung der Parameter in der Poisson-Regression die Verwendung einer Maximum-Likelihood-Schätzung, um die Werte zu finden, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximieren. Mithilfe geeigneter Softwarepakete und Modelldiagnosen können Forscher Parameterschätzungen erhalten und die Anpassungsgüte unter Berücksichtigung potenzieller Probleme wie Überdispersion und Modellannahmen bewerten.

Wie kann man die Ergebnisse interpretieren?

Nach der Durchführung der Poisson Regressionsanalyse ist es wichtig, die Ergebnisse zu interpretieren, um sinnvolle Schlussfolgerungen zu ziehen. Die Ausgabe der Poisson-Regression enthält in der Regel Koeffizienten, Standardfehler, z-Werte und p-Werte für jede Vorhersagevariable.

Die Koeffizienten geben die Veränderung des Logarithmus der erwarteten Anzahl der Antwortvariablen bei einer Erhöhung der Prädiktorvariablen um eine Einheit an, wobei alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Ein positiver Koeffizient zeigt an, dass ein Anstieg der Prädiktorvariable mit einem Anstieg der erwarteten Anzahl der Antwortvariablen verbunden ist, während ein negativer Koeffizient das Gegenteil anzeigt.

Die Standardfehler der Koeffizienten liefern einen Schätzwert für die Variabilität der Schätzungen. Größere Standardfehler zeigen an, dass die Schätzungen weniger genau sind. Die z-Scores geben die Anzahl der Standardfehler an, um die die Koeffizienten von Null entfernt sind. Ein z-Score größer als 1,96 (oder kleiner als -1,96) zeigt an, dass der Koeffizient auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant ist.

Die p-Werte liefern ein Maß für die Stärke des Beweises gegen die Nullhypothese, dass der Koeffizient Null ist. Ein p-Wert von weniger als 0,05 (oder dem gewählten Signifikanzniveau) bedeutet, dass der Koeffizient statistisch signifikant ist.

Neben der Interpretation der Koeffizienten ist es auch wichtig, die Anpassungsgüte des Modells zu bewerten. Dies kann durch Untersuchung der Abweichung und der Restabweichung geschehen. Die Abweichung misst die Differenz zwischen der Nullabweichung (die Abweichung eines Modells mit nur einem Intercept-Term) und der Restabweichung (die Abweichung des angepassten Modells). Eine geringere Restabweichung deutet auf eine bessere Anpassung hin.

Insgesamt erfordert die Interpretation der Ergebnisse der Poisson-Regression eine sorgfältige Betrachtung sowohl der Koeffizienten als auch der Anpassungsgüte (Goodness of Fit). Ein gründliches Verständnis der Annahmen, Beschränkungen und Anwendungen der Methode ist ebenfalls wichtig, um gültige Schlussfolgerungen zu ziehen.

Welche Anwendungen nutzen die Poisson Regression?

Die Poisson Regression wird häufig in verschiedenen Bereichen zur Modellierung von Zähldaten verwendet. Einige ihrer wichtigsten Anwendungen sind:

• Gesundheitswesen: In der medizinischen Forschung wird die Poisson Regression zur Modellierung der Anzahl von Krankheitsfällen in einer Population verwendet, z. B. die Anzahl von Krankenhauseinweisungen aufgrund einer bestimmten Krankheit.
• Finanzen: Die Poisson-Regression wird zur Modellierung von Zähldaten im Finanzwesen verwendet, z. B. die Anzahl der von einer Versicherungsgesellschaft eingereichten Anträge oder die Anzahl der an einer Börse getätigten Geschäfte.
• Marketing: Im Marketing wird die Poisson-Regression verwendet, um die Anzahl der Käufe zu analysieren, die von Kunden als Reaktion auf verschiedene Werbestrategien getätigt werden.
• Ökologie: In der Ökologie wird die Poisson-Regression zur Modellierung der Anzahl von Tieren oder Pflanzen in einem bestimmten Gebiet verwendet.
• Sozialwissenschaften: Die Poisson-Regression wird auch in den Sozialwissenschaften verwendet, um Zähldaten in verschiedenen Bereichen zu modellieren, z. B. die Anzahl der Verhaftungen in einem bestimmten Viertel oder die Anzahl der Stimmen, die ein politischer Kandidat erhält.

Insgesamt ist die Poisson-Regression ein nützliches Instrument für die Analyse von Zähldaten in verschiedenen Bereichen, das Einblicke in die Beziehung zwischen einer Reihe von Prädiktorvariablen und der Anzahl von Ereignissen oder Vorkommnissen von Interesse bietet.

Wie schneidet die Poisson Regression im Vergleich zu anderen Regressionsmethoden ab?

Die Poisson Regression ist ein leistungsfähiges Instrument zur Modellierung von Zähldaten. Sie ist jedoch nicht die einzige Regressionsmethode, die für diesen Zweck verwendet werden kann. In diesem Abschnitt wird die Poisson-Regression mit anderen Regressionsmethoden verglichen, die häufig für die Analyse von Zähldaten verwendet werden.

Eine der gängigsten Alternativen zur Poisson Regression ist die Negative Binomialregression. Diese Methode lässt eine Überdispersion zu, was bedeutet, dass die Varianz der Antwortvariablen größer sein kann als der Mittelwert. Im Gegensatz dazu wird bei der Poisson Regression davon ausgegangen, dass die Varianz gleich dem Mittelwert ist, was zu einer Unterschätzung der Standardfehler und Konfidenzintervalle führen kann, wenn die Daten übermäßig gestreut sind.

Eine weitere Alternative ist die Null-Inflations-Poisson-Regression (ZIP). Diese Methode ist geeignet, wenn es in den Daten überschüssige Nullen gibt, die nicht durch die Poisson-Verteilung erklärt werden können. Die ZIP-Regression modelliert die überschüssigen Nullen durch einen von den Zähldaten getrennten Prozess.

Das verallgemeinerte lineare Modell (Generalized Linear Model, GLM) ist eine weitere häufig verwendete Regressionsmethode für die Analyse von Zähldaten. Das GLM ermöglicht verschiedene Arten von Antwortverteilungen, einschließlich der Poisson- und der Negativ-Binomial-Verteilung. GLM ermöglicht auch die Einbeziehung von kontinuierlichen und kategorialen Prädiktorvariablen.

Schließlich gibt es noch die gewöhnliche Regression der kleinsten Quadrate (OLS), die üblicherweise für die Analyse kontinuierlicher Daten verwendet wird. Die OLS-Regression kann jedoch auch für die Analyse von Zähldaten verwendet werden, wenn die Antwortvariable so transformiert wird, dass sie den Annahmen der Normalität entspricht. Diese Transformation kann zu Informationsverlusten führen und sollte mit Vorsicht verwendet werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Poisson Regression ein leistungsfähiges Instrument für die Modellierung von Zähldaten ist, aber sie ist nicht die einzige verfügbare Regressionsmethode. Andere Methoden wie die Negative Binomialregression, die ZIP-Regression, die GLM und die OLS-Regression können ebenfalls verwendet werden, je nach den spezifischen Merkmalen der Daten und der Forschungsfrage.

Wie implementiert man mit Python die Poisson Regression?

In diesem Beispiel werden synthetische Daten für das Werbebudget, den Preis und die Anzahl der Verkäufe erzeugt. Die Werte für das Werbebudget sind zufällig generierte Ganzzahlen zwischen 100 und 1000, die Werte für den Preis sind zufällige Fließkommazahlen zwischen 1 und 10, und die Anzahl der Verkäufe wird anhand einer Poisson Verteilung mit einem Mittelwert generiert, der von Werbebudget und Preis abhängt.

Anschließend erstellen wir die Design-Matrix X, indem wir die Spalten advertising_budget und price übereinanderlegen und mit sm.add_constant() eine konstante Spalte hinzufügen.

Die Antwortvariable y wird als sales_count festgelegt. Anschließend wird das Poisson-Regressionsmodell mit sm.GLM() angepasst, wobei das Argument Familie auf sm.families.Poisson() gesetzt wird.

Schließlich wird die Modellzusammenfassung mit model.summary() ausgedruckt, um die geschätzten Koeffizienten, Standardfehler, p-Werte und andere Modellstatistiken zu untersuchen.

Dieses Beispiel demonstriert die Implementierung der Poisson-Regression unter Verwendung zufällig generierter Daten. In der Praxis würden Sie die generierten Daten durch Ihren eigenen Datensatz ersetzen, um die Beziehung zwischen den Prädiktoren und der interessierenden Antwortvariable zu analysieren.

Was sind die Erweiterungen der Poisson Regression?

Die Poisson Regression ist eine leistungsstarke statistische Technik zur Modellierung von Zähldaten. Während das Basismodell davon ausgeht, dass Mittelwert und Varianz der Antwortvariablen gleich sind, gibt es mehrere Erweiterungen und fortgeschrittene Themen, die seine Flexibilität und Anwendbarkeit in verschiedenen Szenarien verbessern können. Hier sind einige bemerkenswerte Erweiterungen und fortgeschrittene Themen:

1. Überdispersion: In Fällen, in denen die Annahme des gleichen Mittelwerts und der gleichen Varianz verletzt wird, kommt es zu einer Überdispersion. Um dieses Problem zu lösen, wird häufig die Negative Binomialregression als Erweiterung der Poisson Regression verwendet. Sie ermöglicht eine größere Flexibilität, indem sie einen zusätzlichen Parameter zur Modellierung der zusätzlichen Variation in den Daten einbezieht.
2. Null-Inflationsmodell: Bei Datensätzen mit übermäßig vielen Nullen ist die Null-inflationierte Poisson-Regression (ZIP) eine geeignete Erweiterung. ZIP-Modelle berücksichtigen überschüssige Nullen, indem sie eine Mischung aus zwei Prozessen annehmen: einen für die Generierung von Nullen und einen für die Generierung positiver Zählungen. Auf diese Weise können die überschüssigen Nullen erfasst und die Regressionsparameter entsprechend geschätzt werden.
3. Poisson-Regression mit Zeitreihendaten: Bei der Analyse von Zähldaten, die im Laufe der Zeit gesammelt wurden, ist die Berücksichtigung zeitlicher Abhängigkeiten wichtig. Zeitreihen-Poisson-Regressionsmodelle, wie z. B. autoregressive Poisson-Modelle (AR-Poisson), berücksichtigen verzögerte Zählungen oder andere zeitabhängige Prädiktoren, um die zeitliche Dynamik der Daten zu erfassen.
4. Bayes’sches Modell: Bei Bayes’schen Ansätzen zur Poisson-Regression werden Vorverteilungen verwendet, um Vorwissen und Unsicherheit in das Modell einzubeziehen. Durch den Einsatz von Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden (MCMC) liefert die Bayes’sche Poisson-Regression Posterior-Verteilungen der Modellparameter und ermöglicht so umfassendere Schlussfolgerungen und Unsicherheitsschätzungen.
5. Poisson Regression mit Offset: Manchmal können die Zähldaten eine Expositionsvariable enthalten, die das zugrunde liegende Risiko oder die Chance für das Eintreten eines Ereignisses darstellt. Durch die Aufnahme eines Offset-Terms in das Poisson Regressionsmodell kann diese Expositionsvariable berücksichtigt werden, was eine sinnvollere Interpretation der Regressionskoeffizienten ermöglicht.
6. Verallgemeinerte Poisson Regression: Das verallgemeinerte Modell lockert die Annahme von gleichem Mittelwert und gleicher Varianz in der Poisson-Verteilung. Es ermöglicht die Schätzung zusätzlicher Dispersionsparameter, die sowohl Über- als auch Unterdispersion in den Daten berücksichtigen.
7. Modelldiagnostik: Wie bei jedem statistischen Modell ist die Diagnose der Anpassungsgüte und die Überprüfung der Annahmen von entscheidender Bedeutung. Residualanalyse, Abweichungstests und grafische Techniken wie Q-Q-Diagramme können helfen, die Angemessenheit des Poisson Regressionsmodells zu bewerten und potenzielle Ausreißer oder einflussreiche Beobachtungen zu identifizieren.

Durch die Erforschung dieser Erweiterungen und fortgeschrittenen Themen der Poisson Regression können Forscher und Praktiker die Flexibilität des Modells nutzen, um spezifische Merkmale ihrer Daten zu berücksichtigen und tiefere Einblicke in die Beziehungen zwischen Prädiktoren und Zählergebnissen zu gewinnen.

Das solltest Du mitnehmen

• Die Poisson Regression ist eine beliebte Methode zur Modellierung von Zähldaten mit einer nicht negativen ganzzahligen Antwortvariablen.
• Sie basiert auf der Poisson-Verteilung, bei der davon ausgegangen wird, dass der Mittelwert und die Varianz der Antwortvariablen gleich sind.
• Die Poisson Regression beruht auf einer Reihe von Annahmen, darunter die Unabhängigkeit der Beobachtungen, die Linearität der Prädiktoren und das Fehlen einer Überdispersion.
• Die Interpretation der Ergebnisse der Poisson Regression kann durch die Potenzierung der Koeffizienten erfolgen, um Inzidenzratenverhältnisse zu erhalten.
• Die Poisson-Regression hat ein breites Spektrum von Anwendungen in verschiedenen Bereichen, darunter Gesundheitswesen, Sozialwissenschaften, Wirtschaft und Ökologie.
• Sie kann mit anderen Regressionsmethoden wie der linearen Regression und der negativen Binomialregression verglichen werden, je nach den Merkmalen der Daten.
• Trotz ihrer Einschränkungen und Annahmen ist die Poisson-Regression nach wie vor ein wertvolles Instrument für die Analyse von Zähldaten und wird in der Forschung und bei praktischen Anwendungen häufig eingesetzt.

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Die ausführliche Dokumentation des Poisson-Regressors in Scikit-Learn findest Du hier.