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Normalverteilung

Die Normalverteilung, oder auch Gauß-Verteilung, ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, da nahezu alle Werte, die wir in unserem Umfeld haben, normalverteilt sind. Körpergröße (innerhalb eines Geschlechts), die 100m Zeiten eines Schwimmers bei verschiedenen Wettkämpfen aber auch so etwas spezielles wie das Gewicht von mehreren Kaffeepackungen folgen ab einer ausreichend großen Stichprobe der Gauß-Verteilung. 

Wenn wir ein Zufallsexperiment durchführen, wie beispielsweise die Zeiten eines Schwimmers immer wieder messen, dann wollen wir zum einen eine sogenannte Dichtefunktion erhalten. Diese gibt uns an wie häufig ein gewisses Ereignis vorkommt. Es könnte uns zum Beispiel interessieren, wie wahrscheinlich es ist, dass der Schwimmer die 100m in einer Zeit von 1:15 min vollendet. Zusätzlich könnte uns aber auch interessieren, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Sportler die 100m in unter oder maximal 1:15min schwimmt. Diese Frage können wir mit hilfe der Verteilungsfunktion beantworten. Die Verteilungsfunktion gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperiment kleiner oder gleich eines bestimmten Wertes ist. 

Definition

Eine stetige Zufallsgröße X mit einer Dichtefunktion f(x) der Form

\(\) \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x – \mu)^2}{\sigma}}\]

mit dem Erwartungswert µ und der Varianz σ² heißt normalverteilt (kurz: N(µ, σ²)). Der Erwartungswert µ…

  • … ist eine reelle Zahl, er kann also auch negativ werden.
  • … ist die X-Koordinate des Maximums der Dichtefunktion.

Die Varianz σ²…

  • … ist die quadrierte Standardabweichung σ. 
  • … muss immer größer 0 sein.
  • … bestimmt wie stark der Graph horizontal gestreckt oder gestaucht ist. Eine geringe Varianz bedeutet, dass der Graph schmal ist. 

Dichtefunktion

Im Zusammenhang mit der Normalverteilung, wird meistens die Dichtefunktion mit ihrer bekannten Glockenkurve gezeigt. Kurz gesagt nutzt man diesen Graphen, um für einen Erwartungswert X die Wahrscheinlichkeit abzulesen, mit der dieses Ereignis eintritt.

Der Graph bildet die Normalverteilung von Körpergrößen in Zentimetern ab, die bei männlichen Testpersonen gemessen wurden. Der Erwartungswert µ = 180 sagt aus, dass der Großteil der Probanden 180cm groß waren. Die Varianz σ² beträgt in diesem Beispiel 7. Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert X = 176 beträgt etwa 5%, d.h. eine zufällige, männliche Testperson ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% genau 176cm groß.

Das Bild zeigt die Dichtefunktion der Normalverteilung auf einem karierten Hintergrund.
Normalverteilung Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion F(x) der Normalverteilung ist definiert durch

\(\) \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot \int_{- \infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x – \mu)^2}{\sigma}} \]

Also das Integral der Dichtefunktion f(x) im Bereich von – bis zur Zufallsgröße X. Die Verteilungsfunktion gibt entsprechend an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsgröße einen Wert von kleiner oder gleich X annimmt: 

\(\) \[ f(x) = Prob(X \leq x) \]

Für den Erwartungswert X = 176 erhalten wir in der Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlichkeit von etwa 6,7%. Eine zufällige, männliche Person ist somit mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,7% kleiner oder genau 176cm groß. 

Das solltest Du mitnehmen

  • Die Normalverteilung ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung.
  • Nahezu alle in der natürlich vorkommenden Zufallsexperiment können durch die Gauß-Verteilung abgebildet werden.
  • Die Normalverteilung wird charakterisiert durch die Dichtefunktion, die für jedes Ereignis den Wahrscheinlichkeitswert angibt. Die Verteilungsfunktion hingegen gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsgröße einen Wert kleiner x annimmt.

Andere Beiträge zum Thema Normalverteilung

  • Eine prägnante Zusammenfassung zu dem Thema findest Du hier.
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